Función Cuadrática

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

Cuando estudiamos la solución de una ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es   Incompleta

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación  Y = X². Si hacemos una tabla con los valores de esta función cuadrática, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal.

Características de una Parábola

La forma estándar  de una función cuadrática es y= ax²+bx+c. Por ejemplo y= x², el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola. 

Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección.

Todas las funciones parabólicas tienen un eje de simetría vertical, una línea imaginaria que pasa a través de la mitad de la forma de U y la divide en dos mitades que son imágenes de espejo una de la otra. El eje de simetría siempre pasa por el vértice. Cualquier par de puntos con el mismo valor de y estarán a la misma distancia del eje.

Para la gráfica de una parábola, el primer coeficiente indica la dirección de la forma de las ramas, verás que con valores positivos de a (a > 0), la parábola abre hacia arriba. Para valores negativos (a < 0), la parábola abre hacia abajo. También nota que cuando a = 0, la parábola ya no es una parábola, Se vuelve una línea recta, y la ecuación es ahora una ecuación lineal, y = bx + c.

Cuando a se aleja de 0 en cualquier dirección la parábola se vuelve más delgada. Consecuentemente, cuando a se acerca a 0, la parábola se hace más ancha (hasta que se convierte en una línea recta cuando a = 0). A veces comparamos una parábola con la gráfica de  y=x². Cuando |a| > 1, la parábola es más ancha que  y=x² y cuando |a| < 1, la parábola es más delgada que y=x². Intenta con la gráfica interactiva, usando valores como a = 2 o a =-3, y a = 0.2 o a = -0.4.

Graficando la Parábola usando el Vértice y el Eje de Simetría y Raíces

Para una función cuadrática y = ax² + bx + c, la coordenada x del vértice es siempre –b/2a. Como el eje de simetría siempre pasa por el vértice, significa que el eje de simetría es una línea vertical x= -b/2a. 

Otras características útiles de una ecuación cuadrática son las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces son puntos donde la parábola toca o cruza el eje x. Las coordenadas x en esos puntos se conocen como intersección en x (Las coordenadas y son 0.) Dependiendo de la naturaleza de la gráfica (la dirección de la forma de U y la localización del vértice), una función cuadrática puede tener cero, una, o dos raíces. 

La forma factorizada de una ecuación cuadrática también se le denomina forma intersección de una ecuación cuadrática. En esta forma y= a (x-x₁)  (x-x₂), las intersecciones en x son x₁ y x₂. Para una función que no tiene raíces, la ecuación no tiene forma intersección. Si la función tiene sólo una raíz, x₁ = x₂  y la forma intersección puede escribirse también como as y = a(x – x₁)². Siempre y cuando una ecuación cuadrática pueda ser factorizada, podemos usar este método para encontrar las raíces.