lunes, 22 de junio de 2015
domingo, 7 de junio de 2015
sábado, 6 de junio de 2015
Función Cuadrática
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
Cuando estudiamos la solución de una ecuación de
segundo grado o cuadrática vimos
que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación
completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se
dice que la ecuación es Incompleta
Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen
características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A
medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas
características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones
cuadráticas.
La función cuadrática más básica y simple
tiene la ecuación Y = X2. Si hacemos una tabla
con los valores de esta función cuadrática, vemos que el rango (los
valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal.
Características de una Parábola
La forma
estándar de una función cuadrática es y= ax2+bx+c. Por ejemplo y= x2, el valor del coeficiente a es
1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones
cuadráticas presentan valores de b y c diferentes
de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola.
Las parábolas tienen
muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una
parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que
en el vértice, la parábola cambia de dirección.
Todas las funciones parabólicas tienen un eje de simetría vertical, una línea imaginaria que pasa a través de la
mitad de la forma de U y la divide en dos mitades que son imágenes de espejo
una de la otra. El eje de simetría siempre pasa por el vértice. Cualquier par
de puntos con el mismo valor de y estarán a la misma distancia
del eje.
Para la gráfica de una
parábola, el primer coeficiente indica la dirección de la forma de las ramas, verás
que con valores positivos de a (a > 0), la
parábola abre hacia arriba. Para valores negativos (a < 0), la
parábola abre hacia abajo. También nota que cuando a = 0, la
parábola ya no es una parábola, Se vuelve una línea recta, y la ecuación es
ahora una ecuación lineal, y = bx + c.
Cuando a se aleja de 0 en
cualquier dirección la parábola se vuelve más delgada. Consecuentemente,
cuando a se acerca a 0, la parábola se hace más ancha (hasta
que se convierte en una línea recta cuando a = 0). A
veces comparamos una parábola con la gráfica de y=x2. Cuando |a| > 1, la parábola es más
ancha que y=x2 y
cuando |a| < 1, la parábola es más delgada que y=x2. Intenta con la gráfica interactiva, usando
valores como a = 2 o a =-3, y a =
0.2 o a = -0.4.
Graficando la Parábola usando el Vértice y el Eje de Simetría y Raíces
Para una función
cuadrática y = ax2 + bx + c,
la coordenada x del vértice es siempre –b/2a. Como el eje de simetría siempre pasa por
el vértice,
significa que el eje de simetría es una línea vertical x= -b/2a.
Otras características
útiles de una ecuación cuadrática son las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces son puntos donde la parábola toca o cruza el eje x.
Las coordenadas x en esos puntos se conocen como intersección en x (Las coordenadas y son 0.)
Dependiendo de la naturaleza de la gráfica (la dirección de la forma de U y la
localización del vértice), una función cuadrática puede tener cero, una, o dos
raíces.
La forma factorizada de una ecuación cuadrática también se le denomina forma intersección de una ecuación
cuadrática. En esta forma y=
a (x-x1) (x-x2),
las intersecciones en x son x1 y x2.
Para una función que no tiene raíces, la ecuación no tiene forma intersección.
Si la función tiene sólo una raíz, x1 = x2
y la forma intersección puede escribirse también como as y = a(x – x1)2.
Siempre y cuando una ecuación cuadrática pueda ser factorizada, podemos usar
este método para encontrar las raíces.
Demostración de la ecuación de segundo grado
Les propongo ver este video donde se demuestra la formula resolvente de Bhaskara.
viernes, 5 de junio de 2015
Bhaskara
(Siglo XII) Matemático indio. Desde los más
antiguos tiempos, con Aryabhata (nacido en 476), Brahmagupta (598) y
otros ilustres matemáticos, había tenido lugar en la India un notable
desarrollo de la aritmética y del álgebra. Del siglo XII sobresale la
figura de Bhaskara, llamado también Acharya, es decir, "el Maestro".
Bhaskara escribió un tratado de matemáticas y astronomía titulado Siddhantasiromani (Diadema de los tratados astronómicos), que consta de cuatro libros. El primero, titulado Lilavati, es una aritmética; el segundo, que lleva por título Bijaganita,
es un álgebra; el tercero y el cuarto se refieren a la astronomía y a
la esfera. Las traducciones de los dos primeros fueron editadas por H.
T. Colebrooke en Londres, en 1817. El tratado, que es probablemente una
exposición de resultados ya conocidos en la India con algunas
ampliaciones originales, está en verso, pero contiene notas explicativas
en prosa.
El título de Lilavati alude a una mujer, quizá su
hija, a la que el autor dirige sus lecciones: "Graciosa Lilavati, cuyos
ojos recuerdan los de un joven gamo, dime: ¿qué número resulta de
multiplicar 135 por 12?". Es la más antigua obra conocida que contiene
una exposición sistemática de la numeración decimal escrita, y dio un
carácter sobresaliente a la aritmética y a la geometría india.
Bhaskara afirma en el Lilavati que "Quien
conoce distinta y separadamente la adición, las otras veinte
operaciones y las ocho determinaciones, sin excluir la que se obtiene
por medio de las sombras, puede llamarse matemático". Las "operaciones"
son adición, sustración, multiplicación, división, elevación al
cuadrado, extracción de la raíz cuadrada, elevación al cubo, extracción
de la raíz cúbica, operaciones con fracciones, proporciones con 3, 5, 7,
9 y 11, términos y cambios. Las "determinaciones" son amalgama,
progresiones, figuras planas, excavaciones, montones, sierras,
elevaciones del terreno y sombras.
El simbolismo de las operaciones aritméticas es muy semejante al de los griegos. Con el Lilavati
entran por primera vez en la aritmética el cero y la representación del
infinito; en la geometría, el modo de determinar el área de un
triángulo y el radio del círculo circunscrito conociendo los lados de
dicho triángulo; la construcción de un triángulo cuyos lados, el área y
el radio del círculo circunscrito estén expresados con números
racionales, además de la construcción de un cuadrilátero inscribible,
cuyos elementos estén también expresados con números racionales. Por
primera vez se abandonan las consideraciones sobre las cuerdas de los
arcos circulares y se introducen las funciones seno, seno-contrario y
coseno; y, en los problemas relativos a las sombras, se entrevé el
concepto de tangente trigonométrica.
miércoles, 3 de junio de 2015
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